排列組合完全攻略

更新時間：2026年3月　閱讀時間：約12分鐘

排列組合是高中數學中令不少同學感到頭痛的單元，但同時也是最能訓練邏輯思維的課題之一。很多人分不清什麼時候該用排列（P）、什麼時候該用組合（C），關鍵就在於——有沒有考慮「順序」。

基本概念：排列與組合的核心差異

排列（Permutation）與組合（Combination）的根本區別只有一個：**順序是否重要**。

舉一個生活化的例子：假設有三張撲克牌——黑桃A、紅心A、梅花A。如果我們要從中抽出兩張並排成一列：

若順序重要（排列），則 (黑桃A, 紅心A) 和 (紅心A, 黑桃A) 是兩種不同的結果。

若順序不重要（組合），則這兩種排法視為同一種，都是「選了黑桃A和紅心A」。

💡 記憶口訣：排列有「序」，組合只是「挑」——挑東西不需要理會先後順序，排隊才需要。

從 n 個不同元素中取出 r 個排成一列（有順序），方法數為：

P(n,r) = n! / (n − r)!

其中 n! 表示 n 的階層，即 1×2×3×...×n。

特例：當 r = n 時，P(n,n) = n!，稱為「全排列」。

從 n 個不同元素中取出 r 個成一組（無順序），方法數為：

C(n,r) = n! / (r!(n − r)!) = C(n, n−r)

最後一個等式 C(n,r) = C(n, n−r) 非常重要且實用：從10個取6個等於從10個取4個，因為「不取6個」和「取6個」是同一回事。

例題1：班際籃球賽報名

某班有12名學生，要選5人報名籃球比賽隊伍（一、二、三、四、五號位置）。有幾種選法？

解題思路：這道題看似簡單，但要注意——五個位置是不同的！因此不僅要「選出人」，還要「分配位置」，這就涉及排列。

方法：先從12人選5人排成一列 → P(12,5) = 95040 種。

若改為「只要湊夠5人參賽，不分配位置」，則為 C(12,5) = 792 種。

例題2：密碼學

一個四位數密碼，每位可為0-9（可重複），有幾種可能？

解題思路：這是典型的「有順序、可重複」問題。每位有10種選擇，共 10×10×10×10 = 10000 種。這叫做「重複排列」，公式為 nʳ（n 種選項、重複 r 次）。

例題3：分組問題

將10人分成兩組，一組4人、一組6人，有幾種分法？

這裡要注意：先選4人或先選6人結果相同，不能重複計算。因此方法數 = C(10,4) / 2 = 105/2？

實際上：C(10,4) = 210 種，但先選4人與先選6人是同一回事——但我們不是「先選4再選6」，而是直接「分成兩組」，所以答案是 C(10,4) = 210 種（因為 C(10,4) = C(10,6)，自然解決了這個問題）。

1. 忽略順序：拿到題目先問自己「抽出東西後需要排列嗎？」如果需要就用P，不需要就用C。

2. 重複計算：分組問題中，若兩個組人數相同（如各5人），則要除以2！

3. 未考慮特殊情況：題目說「每個位置的人都不一樣」→ 排列；「只要湊成一組」→ 組合。

排列組合的核心在於「理解問題的本質」——有沒有順序？有沒有重複？有沒有分類？把這三個問題想清楚，絕大多數計數問題都能迎刃而解。