三角形與多邊形性質：平面幾何的基石
三角形是所有多邊形的基礎——任何多邊形都可以切割成若干個三角形。因此，把三角形的性質學透，就等於掌握了整個平面幾何的一半。這個章節的內容在國中就學過，但高中的深度要求我們不只會用，還要能證明。
一、三角形的內角和定理
任何三角形的內角和恆為 180°。這個看似簡單的結論，可以用「平行線內錯角」的方法證明：過三角形一個頂點作對邊的平行線，利用內錯角相等可得三個角在一直線上，即為 180°。
外角定理：三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角之和。這個性質在幾何證明中極為常用。
二、畢氏定理與常用畢氏數
畢氏定理是平面幾何中最重要的公式之一：
直角三角形中，a² + b² = c²（c 為斜邊）
常用的畢氏數（滿足 a²+b²=c² 的整數組合）需要記憶：
- 3-4-5（最小也是最常見的）
- 5-12-13（常用於競賽題）
- 8-15-17
- 7-24-25
如果 a²+b²=c² 的三邊均為整數，則 (a,b,c) 稱為「畢氏三元數」，這些數字有專門的生成公式。
三、特殊三角形的邊長比例
兩個最重要的特殊直角三角形：
30°-60°-90° 三角形：邊長比 1 : √3 : 2（短直角邊 : 長直角邊 : 斜邊）
45°-45°-90° 三角形：邊長比 1 : 1 : √2（等腰直角三角形）
這兩個比例在三角函數章節會反覆出現。記住這些比例，很多題目可以秒殺。
四、三角形的面積公式
基本的面積公式是：
Δ = ½ × 底 × 高
但有時高不容易計算，這時可以用：
Δ = ½ × a × b × sin C（海龍公式的特例）
Δ = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]（海龍公式，s = (a+b+c)/2）
五、多邊形的內角和與對角線
n 邊多邊形的內角和為：
(n − 2) × 180°
外角和恆為 360°，這個事實在求正多邊形每個外角時特別有用（每個外角 = 360°/n）。
n 邊多邊形的對角線總數為：
n(n − 3) / 2
這個公式的由來：每個頂點可以和 n−3 個其他頂點連成對角線（不能和自己連、不能和相鄰兩點連），但每條對角線算了兩次，所以要除以 2。
結語
三角形的性質和多邊形的內角和是幾何證明的起點。這些內容在考試中往往不是獨立題目，而是嵌在其他題型中的基礎工具。